鳥取大学 2024年数学第I問解答・解説

1問題

鳥取大学2024年度第I問

実数 $x$ に対し， $k-1<x\leq k$ を満たす整数 $k$ を $\lceil x\rceil$ と表す。たとえば $\displaystyle \left\lceil\frac{5}{2}\right\rceil=3$ ， $\lceil-\pi\rceil=-3$ である。以下の問いに答えよ。

(1) $3\lceil x\rceil^2-38\lceil x\rceil+55<0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

(2) $\displaystyle 4\left\lceil x+\frac{4}{3}\right\rceil^2-52\left\lceil x+\frac{1}{3}\right\rceil+113<0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

(3) $\left\lceil x^2\right\rceil=2x$ を満たす $x$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad 1<x\leq 10,\qquad$ (2) $\displaystyle \quad \frac{11}{3}<x\leq\frac{17}{3},\qquad$ (3) $\displaystyle \quad x=0,\frac12,\frac32,2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) }n=\lceil x\rceil\text{ とおくと、}n\text{ は整数である。}\quad 3n^2-38n+55=(3n-5)(n-11)<0\text{ より }\frac53<n<11. \text{したがって }n=2,3,\ldots,10.\text{ 各 }n\text{ に対し }n-1<x\leq n\text{ だから、これらを合わせて }1<x\leq10. \text{(2) }m=\left\lceil x+\frac13\right\rceil\text{ とおく。定義から }\left\lceil x+\frac43\right\rceil=m+1\text{ なので、} 4(m+1)^2-52m+113=(2m-9)(2m-13)<0.\text{ よって }\frac92<m<\frac{13}{2}\text{ であり、整数 }m\text{ は }5,6. m=5\text{ のとき }\frac{11}{3}<x\leq\frac{14}{3},\quad m=6\text{ のとき }\frac{14}{3}<x\leq\frac{17}{3}.\text{ したがって }\frac{11}{3}<x\leq\frac{17}{3}. \text{(3) }n=\lceil x^2\rceil=2x\text{ とおくと、}n\text{ は }0\text{ 以上の整数で }x=\frac n2.\text{ 天井関数の定義より} n-1<\frac{n^2}{4}\leq n.\text{ 右側から }n(n-4)\leq0\text{ となるので }n=0,1,2,3,4.\text{ このうち }n=2\text{ は左側が }1<1\text{ となり不成立。} n=0,1,3,4\text{ はそれぞれ }-1<0\leq0,\ 0<\frac14\leq1,\ 2<\frac94\leq3,\ 3<4\leq4\text{ を満たす。よって }x=0,\frac12,\frac32,2.$

この問題で使う考え方

実数と無理数
二次不等式とグラフ

1問題

2答え

3解答

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