鳥取大学 2024年数学第II問解答・解説

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1問題

鳥取大学2024年度第II問

空間内の原点を中心とする半径1の球面を $S$ とする。 $S:x^2+y^2+z^2=1$ 球面 $S$ 上の点 $N(0,0,1)$ と $xy$ 平面上の点 $P(s,t,0)$ を結ぶ直線が球面 $S$ と交わる点で， $N$ と異なる点を $Q(x,y,z)$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 点 $Q$ の座標 $(x,y,z)$ を $s,t$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ が $xy$ 平面上の放物線 $y=x^2,\ z=0$ を動くものとする。(1)で求めた点 $Q$ の $y$ 座標を，点 $P$ の $y$ 座標 $t$ の関数とみなして $f(t)$ とおく。 $f(t)$ の最大値および最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

QC照合記録：MM-c306b2bde157-Q2

範囲・分類高校数学の空間座標・直線の媒介変数・二次方程式・微分と増減の範囲内。単元：数学C「ベクトル」・空間座標、数学III「関数の増減」。方法：直線NPの媒介変数を球面へ代入し、放物線条件から得る定義域で微分の符号を調べる。テーマ：単位球面上の再交点と放物線に沿う座標の最大・最小。

表示・actual 旧採用答案の最終答案・解答・方針文字列にC0制御文字はなく、中括弧数が一致し、解答本文の

\[...\]

は6組ずつ対応する。現行ソースに具体的な表示欠陥は見つからなかった。完全な本番テンプレートPDFの描画は未確認（UNVERIFIED）。actualも内部モデルの実測がなくUNVERIFIED。

この問題で使う考え方

線分NP上の媒介変数と球面交点、放物線条件による定義域、微分の符号

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