III鳥取大学 2024年 数学 第III問解答・解説

$(1)$ 物体が $n+1$ 秒後に点 $A$ にいるためには，(n) 秒後に点 $B$ または点 $C$ にいて，そこから点 $A$ へ移動する必要がある。点 (B,C) のいずれからも，次の1秒で点 $A$ へ移動する確率は $\displaystyle \frac12$ なので $$\displaystyle a_{n+1}=\frac12 b_n+\frac12 c_n=\frac{b_n+c_n}{2}.$$

(2) 3点のどれかに必ずいるから $a_n+b_n+c_n=1$ であり，$(1)$より $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1-a_n}{2}.$$ ここで $\displaystyle u_n=a_n-\frac13$ とおくと $$\displaystyle u_{n+1}=a_{n+1}-\frac13=\frac{1-a_n}{2}-\frac13=-\frac12\left(a_n-\frac13\right)=-\frac12u_n.$$ また $\displaystyle u_0=1-\frac13=\frac23$ である。したがって，等比数列の一般項から $$\displaystyle u_n=\frac23\left(-\frac12\right)^n, \qquad a_n=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n.$$

(3) 点の総数を $m$ とし，この場合に (n) 秒後に点 $A$ にいる確率を $p_n$ とおく。$p_0=1$ である。$n+1$ 秒後に点 $A$ にいるのは，(n) 秒後に点 $A$ 以外の点にいて，その (m-1) 個の候補のうち点 $A$ へ移動する場合に限る。よって $$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1-p_n}{m-1}.$$ この漸化式の定数解は $\displaystyle p=\frac1m$ である。$\displaystyle v_n=p_n-\frac1m$ とおくと $$\displaystyle v_{n+1}=\frac{1-p_n}{m-1}-\frac1m=-\frac1{m-1}\left(p_n-\frac1m\right)=-\frac1{m-1}v_n.$$ 初項は $\displaystyle v_0=1-\frac1m=\frac{m-1}{m}$ だから $$\displaystyle v_n=\frac{m-1}{m}\left(-\frac1{m-1}\right)^n.$$ したがって求める確率は $$\displaystyle p_n=\frac1m+\frac{m-1}{m}\left(-\frac1{m-1}\right)^n.$$

検算として，(2)の式は $n=0$ で $1$，$n=1$ で $0$ となり，初期状態および1秒後には点 $A$ へ戻れないことと一致する。(3)でも $n=0$ で $1$，$n=1$ で $0$，$n=2$ で $1/(m-1)$ となり，2秒後は最初に選んだ他点から $A$ へ戻る確率と一致する。