1和歌山県立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $n$ と $n-1$ は連続する整数なので、一方は偶数、他方は奇数である。したがって $n(n-1)$ の因数 $2$ は偶数である方にしか含まれない。$4\mid n(n-1)$ ならば、偶数である方は $4$ の倍数でなければならない。よって $n$ が $4$ の倍数であるか、$n-1$ が $4$ の倍数である。

(2) $n$ は2桁なので $10\leq n\leq99$、従って $9\leq n-1\leq98$ であり、$n,n-1$ のいずれも $100$ の倍数ではない。連続する整数のうち偶数は一方だけだから、$4\mid n(n-1)$ より偶数の方は $4$ の倍数である。また連続する整数のうち $5$ の倍数は一方だけなので、$25\mid n(n-1)$ ならば、その一方は $25$ の倍数である。もし同じ因数が $4$ と $25$ の両方で割り切れれば、その因数は $100$ の倍数になるが、上の範囲では不可能である。従って $4$ の倍数となる因数と $25$ の倍数となる因数は別々であり、示す二つの場合のいずれかとなる。

(3) 下4桁が $n$ と一致する条件は $n^2\equiv n\pmod{10000}$、すなわち $10000\mid n(n-1)$ である。連続する整数の一方だけが偶数なので、その偶数因数が $16$ の倍数である。また一方だけが $5$ の倍数であり、積が $5^4$ で割り切れるから、その因数は $625$ の倍数である。両方の条件が同じ因数に集まればその因数は $10000$ の倍数となるが、$1000\leq n\leq9999$ および $999\leq n-1\leq9998$ であるから、$n,n-1$ のいずれも $10000$ の倍数ではなく、これは不可能である。よって次の二場合を調べる。

(i) $16\mid n$、$625\mid(n-1)$ のとき、$n=625k+1$ とおくと、$625\equiv1\pmod{16}$ より $k+1\equiv0\pmod{16}$、従って $k=16q+15$ と書ける。よって $n=10000q+9376$ であり、4桁の範囲では $q=0$、すなわち $n=9376$ である。

(ii) $625\mid n$、$16\mid(n-1)$ のとき、$n=625k$ とおくと $625\equiv1\pmod{16}$ より $k\equiv1\pmod{16}$ である。従って $n=10000q+625$ となるが、4桁の数にはならない（$q=0$ では625、$q=1$ では10625）。ゆえにこの場合はない。

最後に $9376^2=87909376$ なので、実際に下4桁は $9376$ であり、条件を満たす。