4和歌山県立医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 加法定理を用いると$$\displaystyle \cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

(2) 左辺を加法定理で整理する。$$\displaystyle \begin{aligned}\sin2x\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)-\frac12\cos x&=\sin2x\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x\right)-\frac12\cos x\\&=\cos x\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin2x+\sin^2x-\frac12\right)\\&=\cos x\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin2x-\frac12\cos2x\right)\\&=\cos x\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right).\end{aligned}$$ 従って $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$ ならば問題の等式が成り立つ。これが唯一であることを確認する。$\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{2}$ では $\cos x>0$ なので、等式を $\cos x$ で割ることができる。$x=0$ を代入すると $\displaystyle -\sin\alpha=-\frac12$、すなわち $\displaystyle \sin\alpha=\frac12$ である。さらに $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ を代入すると $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ である。$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ より $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$ に定まる。なお $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ では両辺とも $0$ となり、等式も満たされる。

(3) (2)より $\displaystyle f(x)=\cos x\sin(2x-\frac{\pi}{6})$ である。$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}$ では $\cos\beta>0$ だから、$f(\beta)=0$ は $\displaystyle \sin(2\beta-\frac{\pi}{6})=0$ と同値である。ここで $\displaystyle -\frac{\pi}{6}<2\beta-\frac{\pi}{6}<\frac{5\pi}{6}$ であり、この範囲にある正弦の零点は $0$ だけである。よって $\displaystyle 2\beta-\frac{\pi}{6}=0$、すなわち $\displaystyle \beta=\frac{\pi}{12}$ である。積和公式で$$\displaystyle f(x)=\frac12\left\{\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right\}$$ となる。従って$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\beta f(x)\,dx&=\left[-\frac16\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac12\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]_0^{\pi/12}\\&=-\frac23\cos\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{3}\\&=\frac{2\sqrt3-\sqrt6-\sqrt2}{6}.\end{aligned}$$ $0<x<\beta$ では $\displaystyle 2x-\frac{\pi}{6}<0$ かつ $\displaystyle 2x-\frac{\pi}{6}>-\frac{\pi}{6}$ なので $f(x)<0$ であり、積分値が負であることとも一致する。