3和歌山県立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $p=x^2-x$ とおくと $f=p^3$ である。積と合成関数の微分より$$f'(x)=3(x^2-x)^2(2x-1)=3x^2(x-1)^2(2x-1).$$ $x=0,1$ では $f'=0$ だが、その他では $(x-1)^2x^2>0$ なので、$\displaystyle x<\frac12$ では $f'<0$、$\displaystyle x>\frac12$ では $f'>0$ である。従って $f$ は $\displaystyle x<\frac12$ で減少し、$\displaystyle x>\frac12$ で増加する。$x=0,1$ で導関数が $0$ となってもその前後で増減は変わらない。$\displaystyle f(\frac12)=(-\frac14)^3=-\frac1{64}$ であり、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to+\infty$ だから、$\displaystyle (\frac12,-\frac1{64})$ が唯一の極小点で、極大値はない。

次に$$f''(x)=6(x^2-x)(2x-1)^2+6(x^2-x)^2=6(x^2-x)(5x^2-5x+1).$$ $5x^2-5x+1=0$ の解を $\displaystyle a=\frac{5-\sqrt5}{10}$、$\displaystyle b=\frac{5+\sqrt5}{10}$ とおくと、$0<a<b<1$ である。因数の符号を調べると$$\begin{array}{c|ccccc}x&x<0&0<x<a&a<x<b&b<x<1&x>1\\\hline f''(x)&+&-&+&-&+\end{array}$$ となる。従ってグラフは $x<0,a<x<b,x>1$ で下に凸、$0<x<a,b<x<1$ で上に凸である。$f''$ の符号が変わる $x=0,a,b,1$ はすべて変曲点の $x$ 座標である。$f(0)=f(1)=0$ であり、$a,b$ では $\displaystyle a^2-a=b^2-b=-\frac15$ だから $\displaystyle f(a)=f(b)=-\frac1{125}$。変曲点は$$\displaystyle (0,0),\quad(a,-\frac1{125}),\quad(b,-\frac1{125}),\quad(1,0).$$ また $f(1-x)=f(x)$ なので、グラフは直線 $\displaystyle x=\frac12$ に関して対称である。両端で上昇し、$x=0,1$ では水平接線をもって $x$ 軸を横切り、中央に極小点をもつ概形となる。

(2) $x^2-x$ は $x\leq0$ または $x\geq1$ で $0$ 以上、$0<x<1$ で負である。従って$$g(x)=\begin{cases}f(x)&(x\leq0,\ x\geq1),\\-f(x)&(0\leq x\leq1).\end{cases}$$ となる。$x<0$ では $g=f$ は減少し、$\displaystyle 0<x<\frac12$ では $g=-f$ は増加し、$\displaystyle \frac12<x<1$ では減少し、$x>1$ では増加する。よって $x=0,1$ で最小値 $0$ をとり、$0\leq x\leq1$ の内部では $\displaystyle x=\frac12$ で最大値 $\displaystyle g(\frac12)=\frac1{64}$ をとる。両端で $g(x)\to+\infty$ である。

$x\ne0,1$ では $g''=f''$ (外側) または $g''=-f''$ (内側) である。符号表は$$\begin{array}{c|ccccc}x&x<0&0<x<a&a<x<b&b<x<1&x>1\\\hline g''(x)&+&+&-&+&+\end{array}$$ となる。従って $a,b$ で凹凸が変わり、$\displaystyle g(a)=g(b)=\frac1{125}$ より変曲点は $\displaystyle (a,\frac1{125}),(b,\frac1{125})$ である。$x=0,1$ では両側とも下に凸であるから変曲点ではない。以上より、$g$ は $x=0,1$ で水平に $x$ 軸に接してその上にとどまり、範囲 $0\le x\le1$ の中央で山を作り、区間外では両側へ上昇する概形となる。