2山口大学 2023年 数学 第2問解答・解説

辺の長さを $a=BC=9,\ b=CA=8,\ c=AB=7$、半周長を $s=12$、面積を $K$ とする。$$\displaystyle K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{12\cdot3\cdot4\cdot5}=12\sqrt5,\qquad r=\frac Ks=\sqrt5.$$したがって、(1) の答えは $\sqrt5$ である。 $A,B$ の余弦定理と半角の公式から$$\displaystyle \cos A=\frac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot7\cdot8}=\frac27,\quad \tan\frac A2=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\frac{\sqrt5}{3},$$$$\displaystyle \cos B=\frac{7^2+9^2-8^2}{2\cdot7\cdot9}=\frac{11}{21},\quad \tan\frac B2=\sqrt{\frac{1-\cos B}{1+\cos B}}=\frac{\sqrt5}{4}.$$円が辺 $AB$ に接する点をそれぞれ $D_1,D_2$ とし、半径を $r_1,r_2$ とする。角の二等分線と接点までの直角三角形より$$\displaystyle AD_1=r_1\cot\frac A2=\frac{3r_1}{\sqrt5},\qquad BD_2=r_2\cot\frac B2=\frac{4r_2}{\sqrt5}.$$接点は辺上にあるので $r_1\le7\sqrt5/3<4\sqrt5$、$r_2\le7\sqrt5/4<3\sqrt5$。$A$-傍接円と $B$-傍接円の半径はそれぞれ $K/(s-a)=4\sqrt5$、$K/(s-b)=3\sqrt5$ であり、内接円と各傍接円の間の角二等分線上の円は反対辺と2点で交わる。よって問題の条件から $0<r_1,r_2\le\sqrt5$。したがって $D_1,D_2$ はこの順に並び、$$\displaystyle D_1D_2=7-AD_1-BD_2=7-\frac{3r_1+4r_2}{\sqrt5}.$$両円の中心から $AB$ に下ろした垂線の長さは $r_1,r_2$。外接条件より中心間距離は $r_1+r_2$ だから、三平方の定理で$$D_1D_2^2+(r_1-r_2)^2=(r_1+r_2)^2,\qquad D_1D_2=2\sqrt{r_1r_2}.$$よって$$3r_1+4r_2+2\sqrt5\sqrt{r_1r_2}=7\sqrt5.\tag{1}$$$r_1=r_2=r$ とすると、(1) から$$\displaystyle r(7+2\sqrt5)=7\sqrt5,\qquad r=\frac{7\sqrt5}{7+2\sqrt5}=\frac{49\sqrt5-70}{29}.$$これが (2) の答えである。 (3) では円周の和は $2\pi(r_1+r_2)$ なので、$r_1+r_2$ を最小にすればよい。(1) に $u=\sqrt{r_1},v=\sqrt{r_2}$ を代入し、$$3u^2+4v^2+2\sqrt5uv=7\sqrt5.\tag{2}$$とおく。$\lambda=(7+\sqrt{21})/2$ とすると $(\lambda-3)(\lambda-4)=5$ であり、$$\lambda(u^2+v^2)-(3u^2+4v^2+2\sqrt5uv)=\left(\sqrt{\lambda-3}\,u-\sqrt{\lambda-4}\,v\right)^2\ge0.$$したがって (2) より$$\displaystyle u^2+v^2\ge\frac{7\sqrt5}{\lambda}=\frac{14\sqrt5}{7+\sqrt{21}}.$$等号は $v/u=\sqrt{(\lambda-3)/(\lambda-4)}=(1+\sqrt{21})/(2\sqrt5)$、すなわち $r_2/r_1=(11+\sqrt{21})/10$ のときに成立する。これと等号時の $r_1+r_2$ から$$\displaystyle r_1=\frac{\sqrt5(6-\sqrt{21})}{3},\qquad r_2=\frac{\sqrt5(9-\sqrt{21})}{6}.$$いずれも $0<r_i<\sqrt5$ なので接点は各辺上にあり、反対辺を2点で切らない。また (1) を満たすため両円は外接する。よって下限は実現され、これが (3) の答えである。