2名古屋大学 2009年 数学 第2問解答・解説

置換 $t=\sin u$（$-\pi/2\leq u\leq\pi/2$）を用いると $dt=\cos u\,du$、$\sqrt{1-t^2}=\cos u$ だから $$\displaystyle f(x)=\int_{-\pi/2}^{\arcsin x}\cos^2u\,du =\frac{\pi}{4}+\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right).$$ また積分の微分と合成関数の微分法から $$g'(\theta)=f'(\cos\theta)(-\sin\theta)-f'(\sin\theta)\cos\theta =-\sin\theta\lvert\sin\theta\rvert-\cos\theta\lvert\cos\theta\rvert.$$ ここで $f'(x)=\sqrt{1-x^2}$、$\sqrt{1-\cos^2\theta}=\lvert\sin\theta\rvert$、$\sqrt{1-\sin^2\theta}=\lvert\cos\theta\rvert$ を用いた。

$f$ の式を $g=f(\cos\theta)-f(\sin\theta)$ に代入する。$\arcsin(\sin\theta)$、$\arcsin(\cos\theta)$ と絶対値を各象限で整理すると $$\displaystyle g(\theta)= \begin{cases} \frac{\pi}{4}-\theta &(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}),\\ \sin\theta\cos\theta-\frac{\pi}{4} &(\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi),\\ \theta-\frac{5\pi}{4} &(\pi\leq\theta\leq\frac{3\pi}{2}),\\ \frac{\pi}{4}-\sin\theta\cos\theta &(\frac{3\pi}{2}\leq\theta\leq2\pi). \end{cases}$$ 隣接する式は境界で一致する。第1区間は減少、第2区間では $g'=\cos2\theta$ なので $\theta=3\pi/4$ で極小、第3区間は増加、第4区間では $g'=-\cos2\theta$ なので $\theta=7\pi/4$ で極大となる。主要点 $$\displaystyle (0,\tfrac{\pi}{4}),\ (\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{4}),\ (\tfrac{3\pi}{4},-\tfrac{\pi}{4}-\tfrac12),\ (\pi,-\tfrac{\pi}{4}),\ (\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{\pi}{4}),\ (\tfrac{7\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}+\tfrac12),\ (2\pi,\tfrac{\pi}{4})$$ を滑らかにつなぎ、$0\le\theta\le2\pi$ の範囲のグラフを描く。