1名古屋大学 2009年 数学 第1問解答・解説

双曲線上の点 $B(s,t)$ における接線条件を、直線の式への代入で確認する。双曲線上なので $s^2-t^2/b^2=1$ であり、$s>0$ である。$t=0$ なら $s=1$ となり双曲線の接線は縦線 $x=1$ だが、中心 $(0,a)$ の円の点 $(1,0)$ における接線は縦線ではない。したがって接点では $t\ne0$。

傾き $m$ の直線を $y=t+m(x-s)$ とおき、$x=s+h$ を双曲線の式へ代入すると $$\displaystyle (s+h)^2-\frac{(t+mh)^2}{b^2}-1 =2\left(s-\frac{tm}{b^2}\right)h+\left(1-\frac{m^2}{b^2}\right)h^2.$$ 接点で交わる解 $h=0$ が重解となるためには一次の係数が0であり、$m=b^2s/t$ となる。

同様に円の式へ代入すると $$(s+h)^2+(t-a+mh)^2-r^2 =2\{s+(t-a)m\}h+(1+m^2)h^2.$$ $t=a$ なら円の接線は縦線だが、双曲線側は有限の傾きであるため一致しない。よって $t\ne a$ であり、円の接線は一次係数が0となる $m=-s/(t-a)$ である。両接線が一致し $s>0$ より $$\displaystyle \frac{b^2s}{t}=-\frac{s}{t-a},\qquad b^2(t-a)=-t,$$ したがって $$\displaystyle t=\frac{ab^2}{b^2+1}.$$ これは $a>0,b>0$ より $0<t<a$ を満たす。 双曲線と円の式から $$\displaystyle s^2=1+\frac{t^2}{b^2}=1+\frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2},\qquad r^2=s^2+(t-a)^2=1+\frac{a^2}{b^2+1}.$$ 対称性により $C(-s,t)$ でも接する。

次に $\triangle ABC$ は $AB=AC=r$、$BC=2s$ の二等辺三角形だから、正三角形となる条件は $r=2s$ である。よって $$\displaystyle 1+\frac{a^2}{b^2+1}=4\left(1+\frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2}\right)$$ を整理した同値な条件は $$a^2(1-3b^2)=3(b^2+1)^2.$$ $a>0$ なので右辺は正であり、これを満たす $a$ が存在するための必要条件は $1-3b^2>0$、すなわち $\displaystyle 0<b<\frac1{\sqrt3}$ である。逆にこの範囲なら $$\displaystyle a=\frac{\sqrt3(b^2+1)}{\sqrt{1-3b^2}}>0$$ と取れる。このとき $$\displaystyle s^2=\frac1{1-3b^2},\qquad r^2=\frac4{1-3b^2}$$ なので $r=2s$ となり、実際に正三角形になる。