3名古屋大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$M=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ とおくと，$M^2=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$，$M^3=I_2$ なので $\displaystyle A^3=\frac18M^3=\frac18I_2$。$(a_1,b_1)^T=(1,0)^T$ から，3項ごとに $$(a_{3k+1},b_{3k+1})=(2^{-3k},0),\quad (a_{3k+2},b_{3k+2})=(0,2^{-3k-1}),\quad (a_{3k+3},b_{3k+3})=(-2^{-3k-2},-2^{-3k-2})$$ を得る。したがって $\sqrt{a_jb_j}$ は $j=3r+3$ のときだけ非零で，その値は $2^{-3r-2}$ である。$n=3k+1,3k+2,3k+3$ のいずれでも， $$\displaystyle c_n=\sum\limits _{j=1}^{n-1}\sqrt{a_jb_j} =\sum\limits _{r=0}^{k-1}2^{-3r-2} =\frac14\frac{1-(1/8)^k}{1-1/8} =\frac27(1-8^{-k})$$ （$k=0$ のときは空和 $0$）となる。以上を各座標に合わせれば一般式を得る。