4名古屋大学 2009年 数学 第4問解答・解説

問題④（選択問題）

(A)と(B)のいずれか一方を選択して解答する。以下には、選択した枝だけを使えるよう、両枝の答案をそれぞれ示す。

選択肢(A) (1) 2回の出目は$6^2=36$通りで、すべて等確率である。一の位が0となるのは、一方が5、他方が2,4,6の6通りである。一の位が1となるのは$(1,1)$の1通りである。一の位が2となるのは$(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(2,6),(6,2)$の6通りである。したがって $$\displaystyle p_2(0)=\frac16,\qquad p_2(1)=\frac1{36},\qquad p_2(2)=\frac16.$$

(2) 積の一の位が1となるには、最後の出目が1で直前の積の一の位が1、または最後の出目が3で直前の積の一の位が7であることが必要十分である。偶数や5を最後に掛けても一の位は1にならない。最後の出目は直前までの積と独立で、各出目の確率は$1/6$だから、 $$\displaystyle p_{n+1}(1)=\frac{p_n(1)+p_n(7)}6.$$

(3) 積の一の位が1,3,7,9のいずれかであることは、その積が2でも5でも割り切れないことと同値である。出目が2,4,6なら積は偶数、出目が5なら積は5で割り切れる。よって、各回の出目が1または3であることが必要十分である。各回でその確率は$2/6=1/3$なので、独立性より $$\displaystyle p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)=\left(\frac13\right)^n.$$

(4) 積の一の位が5となることは、すべての出目が奇数で、少なくとも1回は5が出ることと同値である。すべての出目が1,3,5のいずれかとなる確率から、すべての出目が1,3のいずれかとなる確率を引くと、 $$\displaystyle p_n(5)=\left(\frac36\right)^n-\left(\frac26\right)^n =\left(\frac12\right)^n-\left(\frac13\right)^n.$$

選択肢(B) (1) $x,y$は正の整数である。$2/x+1/y=1/4$で$1/y>0$より$x>8$、$2/x>0$より$y>4$である。分母を払って整理すると、 $$xy-8y-4x=0\quad\text{すなわち}\quad(x-8)(y-4)=32.$$ したがって$x-8$は32の正の約数$1,2,4,8,16,32$のいずれかであり、対応する$y-4$は順に$32,16,8,4,2,1$である。これで全解を尽くすから、 $$(x,y)=(9,36),(10,20),(12,12),(16,8),(24,6),(40,5).$$

(2) $p\ge3$は素数である。$2/x+1/y=1/p$と$x,y>0$より$x>2p$, $y>p$である。分母を払った式は $$(x-2p)(y-p)=2p^2$$ と同値である。$d=x-2p$と置くと、$d$は$2p^2$の正の約数であり、$p$が奇素数なので $$d=1,2,p,2p,p^2,2p^2$$ の6通りに限られる。各$d$に対し $$\displaystyle (x,y)=\left(2p+d,\ p+\frac{2p^2}{d}\right),\qquad F(d):=2x+3y=7p+2d+\frac{6p^2}{d}.$$ $F(2p)=14p$である。他の候補との差を調べると $$\begin{aligned} F(1)-F(2)&=3p^2-2>0,\\ F(2)-F(2p)&=(3p-4)(p-1)>0,\\ F(p)-F(2p)&=p>0,\\ F(p^2)-F(2p)&=(2p-3)(p-2)>0,\\ F(2p^2)-F(p^2)&=2p^2-3>0. \end{aligned}$$ どの不等式も$p\ge3$で成り立つ。よって$F(d)$が最小となるのは$d=2p$のときだけであり、最小値は$14p$である。このとき $$(x,y)=(4p,2p).$$