金沢大学 2022年数学第1問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面いろいろな式図形と方程式数と式

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1問題

金沢大学2022年度第1問

方程式 z^4 + 4 = 0 について，次の問いに答えよ。ただし，i は虚数単位とする。

(1) 複素数 −4 を極形式で表し，z^4 + 4 = 0 を満たす複素数をすべて求めよ。

(2) |w|^2 = 3 を満たす複素数 w と，z^4 + 4 = 0 を満たす複素数 α について，|α + iw|^2 + |α − iw|^2 を求めよ。

(3) t を実数とする。複素数平面における円 |z − t − 5i| = 5 の内部（ただし，境界線を含まない）に，z^4 + 4 = 0 を満たす複素数がちょうど1つ含まれるように，t の範囲を定めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
1+i,-1+i,-1-i,1-i
(2)
10
(3)
(-4,-2] ∪ [2,4)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答 (1) $-4=4(\cos\pi+i\sin\pi)$ 。四乗根は絶対値 $\sqrt2$ ，偏角 $\pi/4+k\pi/2$ $(k=0,1,2,3)$ だから $1+i,-1+i,-1-i,1-i$ 。

(2) $|\alpha|^2=2$ である。一般に $|u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2$ なので， $u=\alpha,v=iw$ とすれば $2\cdot2+2\cdot3=10$ 。

(3) 下半平面の2根は中心の虚部5から距離6なので円盤外。上半平面の根 $1+i,-1+i$ が内部にある条件は，それぞれ $|1-t|<3$ ， $|-1-t|<3$ ，すなわち $-2<t<4$ と $-4<t<2$ 。ちょうど一方だけが成り立つtの範囲は $-4<t\le-2\quad\text{または}\quad2\le t<4.$

この問題で使う考え方

ド・モアブルの公式
絶対値の展開
開区間の重なり

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