2金沢大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $t=\log p$ とすると $y'(p)=2kt/p$。接線は $$\displaystyle y=\frac{2k\log p}{p}(x-p)+k(\log p)^2 =\frac{2kt}{p}x+k(t^2-2t).$$ (2) 点Aを通る条件は $$\displaystyle k(t^2-2t)=\frac{\sqrt3}{2}e.$$ $k>0$ なので、両辺を $k$ で割って平方完成すると、これは $$\displaystyle (t-1)^2=1+\frac{\sqrt3 e}{2k}$$ と同値である。 右辺は1より大きいので、$t=1\pm d$、$\displaystyle d=\sqrt{1+\frac{\sqrt3e}{2k}}>1$ の2解を得る。一方は負、他方は正で、それぞれの接線の傾き $2kte^{-t}$ の符号が異なるので、異なるちょうど2本の接線である。 (3) 接点の対数を $t=1-d,\ u=1+d$ とすると、傾きの積は $$\displaystyle (2kte^{-t})(2kue^{-u}) =4k^2(1-d^2)e^{-2} =-\frac{2k\sqrt3}{e}.$$ 垂直条件は積が $-1$ であることだから $k=e/(2\sqrt3)$。このとき $d=2$ なので $$p=e^{1-d}=e^{-1},\qquad q=e^{1+d}=e^3.$$ (4) $\displaystyle \int(\log x)^2dx=x\{(\log x)^2-2\log x+2\}$ より $$\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e^3} k(\log x)^2dx =k\left(5e^3-\frac5e\right) =\frac{5}{2\sqrt3}(e^4-1).$$

接線のy切片は$k(t^2-2t)$です。これを点Aの高さに等しくすると、$t=\log p$について上に開く二次方程式になり、対数座標の異なる2接点が得られます。接点の対数を1±dと置けば接線の傾きの積が簡単になり、直交条件からkと接点のx座標が定まります。最後は$(\log x)^2$の原始関数を使います。