4金沢大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 8の正の約数は $1,2,4,8$ なので $$\displaystyle s_8=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}=\frac{85}{64}.$$ 12の正の約数は $1,2,3,4,6,12$ なので $$\displaystyle s_{12}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{12^2}=\frac{210}{144}=\frac{35}{24}.$$

(2) $p$ は素数だから、$p^k$ の正の約数は $1,p,p^2,\ldots,p^k$ である。したがって $$|A_{p^k}|=k+1.$$

(3) $p^kq^\ell$ の正の約数は $p^iq^j\ (0\le i\le k,\ 0\le j\le\ell)$ だから $$\displaystyle s_{p^kq^\ell}=\sum\limits _{i=0}^k\sum\limits _{j=0}^\ell\frac{1}{p^{2i}q^{2j}}=\left(\sum\limits _{i=0}^k p^{-2i}\right)\left(\sum\limits _{j=0}^\ell q^{-2j}\right).$$ 有限等比級数は対応する無限等比級数より真に小さいので $$\displaystyle s_{p^kq^\ell}<\frac{1}{(1-p^{-2})(1-q^{-2})}.$$ 異なる素数の小さい方は少なくとも $2$、大きい方は少なくとも $3$ であり、$x>1$ では $(1-x^{-2})^{-1}$ は減少する。よって $$\displaystyle \frac{1}{(1-p^{-2})(1-q^{-2})}\le\frac{1}{(1-2^{-2})(1-3^{-2})}=\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{8}=\frac{3}{2},$$ 従って $\displaystyle s_{p^kq^\ell}<\frac{3}{2}$。

約数を列挙して二つの和を計算し、素数冪の約数個数は指数の選択肢から求める。二素数冪の場合は約数和を有限等比級数の積に分け、異なる素数の最小値2,3を用いた無限等比級数の上界で示す。