3奈良県立医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$a_i=6^i$ とおき、与えられた和の各項を $$\displaystyle t_{ij}:=\frac{1}{6^{2i}+6^i6^j}=\frac{1}{a_i(a_i+a_j)}$$ と表す。$a_i,a_j>0$ であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} t_{ij}+t_{ji}&=\frac{1}{a_i(a_i+a_j)}+\frac{1}{a_j(a_i+a_j)}\\ &=\frac{\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_j}}{a_i+a_j}\\ &=\frac{1}{a_i a_j}. \end{aligned}$$ ここで、$i,j$ の動く範囲はともに$1$から$n$までなので、有限和の添字を入れ替えても範囲は変わらない。したがって、 $$\displaystyle \begin{aligned} 2S_n&=\sum\limits _{i=1}^{n}\sum\limits _{j=1}^{n}(t_{ij}+t_{ji})\\ &=\sum\limits _{i=1}^{n}\sum\limits _{j=1}^{n}\frac{1}{a_i a_j}\\ &=\left(\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right)^2. \end{aligned}$$ 有限等比和の公式から、 $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}=\sum\limits _{i=1}^{n}6^{-i}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1-(1/6)^n}{1-1/6}=\frac{1}{5}(1-6^{-n})$$ である。よって $$\displaystyle S_n=\frac{1}{50}(1-6^{-n})^2.$$ $6^{-n}=(1/6)^n\to0$ より、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac{1}{50}.$$ なお、$n=1$ では元の和は$1/(36+36)=1/72$であり、この式も$\displaystyle \frac{1}{50}(1-\frac{1}{6})^2=1/72$となる。