2奈良県立医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

関数を$f(x)=\log(x^3+x-16)-\log(2x-7)$とおく。

第二項の対数が定義されるためには$2x-7>0$、すなわち$\displaystyle x>\frac72$が必要である。この範囲で$g(x)=x^3+x-16$とおくと、$g'(x)=3x^2+1>0$であるから$g(x)$は増加する。したがって$\displaystyle x>\frac72$ならば$$\displaystyle g(x)>g\left(\frac72\right)=\frac{343}{8}+\frac{28}{8}-\frac{128}{8}=\frac{243}{8}>0$$となり、第一項の対数も定義される。よって定義域は$\displaystyle x>\frac72$である。

この範囲では$x^3+x-16>0$、$2x-7>0$なので、$$\displaystyle \begin{aligned}f'(x)&=\frac{3x^2+1}{x^3+x-16}-\frac{2}{2x-7}\\&=\frac{(3x^2+1)(2x-7)-2(x^3+x-16)}{(x^3+x-16)(2x-7)}\\&=\frac{4x^3-21x^2+25}{(x^3+x-16)(2x-7)}\\&=\frac{(x-5)(4x-5)(x+1)}{(x^3+x-16)(2x-7)}.\end{aligned}$$定義域では分母は正であり、また$4x-5>0$、$x+1>0$である。したがって$\displaystyle \frac72<x<5$では$f'(x)<0$、$x>5$では$f'(x)>0$となる。よって$x=5$で極小となり、その値は$$f(5)=\log(125+5-16)-\log(10-7)=\log114-\log3=\log38.$$この極小値は定義域全体での最小値でもある。左側ではさらに左へ進むと、右側ではさらに右へ進むと関数値が増すので、極大値はない。

検算として、$x=5$を導関数の分子$4x^3-21x^2+25$に代入すると$500-525+25=0$となり、その前後で符号が負から正に変わる。また関数値は$114/3=38$より$\log38$となり、上の結果と一致する。