1奈良県立医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

放物線を表す関数を $f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ とおく。$A=(a,f(a))$, $B=(b,f(b))$ であり、$b>a$ だから$b-a\ne0$である。

(1) 直線$AB$の傾きは$$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\alpha(b^2-a^2)+\beta(b-a)}{b-a}=\alpha(a+b)+\beta.$$ 点$C$の$x$座標を$c$とすると、その点での接線の傾きは$f'(c)=2\alpha c+\beta$である。これが直線$AB$の傾きに等しいので、$$2\alpha c+\beta=\alpha(a+b)+\beta.$$ $\alpha>0$より$2\alpha\ne0$であるから、この等式を解いて$$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}.$$ この値は条件を満たし、$\alpha\ne0$なので他の値はない。したがって$C$の$x$座標は$\displaystyle \dfrac{a+b}{2}$である。

(2) $d=b-a>0$, $c=(a+b)/2$とおく。$c$は$a,b$の中点だから、直線$AB$上で$x=c$となる点の$y$座標は$(f(a)+f(b))/2$である。放物線上の点$C$との鉛直方向の差は$$\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}-f(c)=\left(\frac{\alpha(a^2+b^2)}{2}+\beta\frac{a+b}{2}+\gamma\right)-\left(\alpha\frac{(a+b)^2}{4}+\beta\frac{a+b}{2}+\gamma\right)=\frac{\alpha(b-a)^2}{4}=\frac{\alpha d^2}{4}>0.$$ ここで直線$AB$の傾きを$m=\alpha(a+b)+\beta$とすると、$f(b)-f(a)=md$である。座標で表した三角形の面積公式を用いれば、$$\displaystyle \begin{aligned} [ABC]&=\frac12\left|d\{f(c)-f(a)\}-md\cdot\frac d2\right|\\ &=\frac d2\left|f(c)-\frac{f(a)+f(b)}2\right|\\ &=\frac d2\cdot\frac{\alpha d^2}{4}=\frac{\alpha(b-a)^3}{8}.\end{aligned}$$ $b>a$, $\alpha>0$なので面積は正である。検算として$a=0,b=2,\alpha=1,\beta=\gamma=0$を代入すると$A=(0,0),B=(2,4),C=(1,1)$となり、座標面積公式から面積は$1$、求めた式からも$1$となる。