5奈良県立医科大学 2017年 数学 第5問解答・解説

1試合で、玉をそれぞれ $x,y$ 個持つ2人が対戦するとき、全 $x+y$ 個の玉から1個が等確率で選ばれるので、$x$ 個持つ側が勝つ確率は $\displaystyle \dfrac{x}{x+y}$ である。試合後に玉は返却され、次の試合も改めてよくかきまぜてから抽出するので、各試合の勝敗は独立である。また、各対戦者の玉数は試合の前後で変わらない。

(1) $A$ が予選で $B$ と対戦するとき、$A$ が優勝するには、まず $A$ が $B$ に勝ち、次に $C,D$ の予選勝者に決勝で勝てばよい。$C$ が予選に勝つ確率は $\displaystyle \dfrac{c}{c+d}$、そのとき $A$ が決勝に勝つ確率は $\displaystyle \dfrac{a}{a+c}$ である。同様に、$D$ が予選に勝つ確率は $\displaystyle \dfrac{d}{c+d}$、そのとき $A$ が決勝に勝つ確率は $\displaystyle \dfrac{a}{a+d}$ である。したがって、予選で $A$ が $B$ と対戦する場合の優勝確率を $P_B$ とすると、 $$\displaystyle P_B=\frac{a}{a+b}\left(\frac{c}{c+d}\frac{a}{a+c}+\frac{d}{c+d}\frac{a}{a+d}\right) =\frac{a^2}{(a+b)(c+d)}\cdot\frac{c(a+d)+d(a+c)}{(a+c)(a+d)} =\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}\left(a+\frac{2cd}{c+d}\right).$$ よって、$\displaystyle \text{ア}=\dfrac{2cd}{c+d}$ である。

同じ場合分けを他の組合せにも用いる。予選で $A$ が $C$ と対戦するときは、残る $B,D$ のうち $B$ が予選に勝つ確率が $\displaystyle \dfrac{b}{b+d}$、そのとき $A$ が決勝に勝つ確率が $\displaystyle \dfrac{a}{a+b}$ であり、$D$ が予選に勝つ確率が $\displaystyle \dfrac{d}{b+d}$、そのときの決勝勝率が $\displaystyle \dfrac{a}{a+d}$ である。したがって $$\displaystyle P_C=\frac{a}{a+c}\left(\frac{b}{b+d}\frac{a}{a+b}+\frac{d}{b+d}\frac{a}{a+d}\right) =\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}\left(a+\frac{2bd}{b+d}\right).$$ 予選で $A$ が $D$ と対戦するときも同様に、残る $B,C$ の予選勝者で場合分けして $$\displaystyle P_D=\frac{a}{a+d}\left(\frac{b}{b+c}\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\frac{a}{a+c}\right) =\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}\left(a+\frac{2bc}{b+c}\right)$$ を得る。

(2) $T=b+c+d$ とおく。相手決定のために取り出す玉は $B,C,D$ の計 $T$ 個のうちの1個なので、$A$ が $B,C,D$ とそれぞれ予選で対戦する確率は $\displaystyle \dfrac{b}{T},\dfrac{c}{T},\dfrac{d}{T}$ である。対戦相手を決めた後にその玉を返すため、各場合の優勝確率は(1)の $P_B,P_C,P_D$ のままである。全確率を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} P &=\frac{b}{T}P_B+\frac{c}{T}P_C+\frac{d}{T}P_D\\ &=\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}\left[\frac{b}{T}\left(a+\frac{2cd}{c+d}\right)+\frac{c}{T}\left(a+\frac{2bd}{b+d}\right)+\frac{d}{T}\left(a+\frac{2bc}{b+c}\right)\right]\\ &=\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}\left(a+\frac{2bcd}{T}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}+\frac{1}{d+b}\right)\right). \end{aligned}$$ したがって、$\displaystyle \text{イ}=\dfrac{b}{b+c+d}$、$\displaystyle \text{ウ}=\dfrac{2bcd}{b+c+d}$ である。

検算として $a=b=c=d=1$ とすると、(1)の優勝確率は $\displaystyle \dfrac18(1+1)=\dfrac14$ となる。また(2)でも $\displaystyle \dfrac18\left(1+\dfrac23\cdot\dfrac32\right)=\dfrac14$ であり、4人が対称な場合の各人の優勝確率と一致する。