6奈良県立医科大学 2017年 数学 第6問解答・解説

(1) $a=x_1$、$b=x_2$ とおく。$a,b>0$、かつ点 $P,Q$ は相異なるから $a\ne b$ である。曲線 $y=\log x$ の $x=t$ における接線の傾きは $1/t$ なので、法線の傾きは $-t$ である。したがって、この点を通る法線は $$y-\log t=-t(x-t),\qquad y=-tx+t^2+\log t$$ である。よって、$P,Q$ を通る法線の交点 $R$ の $x$ 座標は $$-a x_R+a^2+\log a=-b x_R+b^2+\log b$$ より $$\displaystyle x_R=\frac{b^2-a^2+\log b-\log a}{b-a}=a+b+\frac{\log b-\log a}{b-a}.$$ ここでは $a\ne b$ なのでこの変形ができる。$b\to a$ とすると、$\log x$ の導関数が $1/x$ であることから $$\displaystyle X=\lim\limits _{b\to a}x_R=2a+\frac1a.$$ また $R$ は $P$ を通る法線上にあるので、$y_R=-a x_R+a^2+\log a$ である。したがって $$\displaystyle Y=\lim\limits _{b\to a}y_R=-a\left(2a+\frac1a\right)+a^2+\log a=\log a-a^2-1.$$ ゆえに $$\displaystyle S=\left(2x_1+\frac1{x_1},\,\log x_1-x_1^2-1\right).$$

(2) $a=x_1>0$ とする。(1)より $P=(a,\log a)$、$S=(2a+1/a,\log a-a^2-1)$ だから、距離を $d$ とすると $$\displaystyle d^2=\left(a+\frac1a\right)^2+(a^2+1)^2.$$ ここで $t=a^2>0$ とおけば $$\displaystyle d^2=t+2+\frac1t+(t+1)^2=t^2+3t+3+\frac1t.$$ 距離は非負であるから、その2乗を最小にすることと距離を最小にすることは同値である。さらに $$\displaystyle d^2-\frac{27}{4}=\frac{4t^3+12t^2-15t+4}{4t}=\frac{(2t-1)^2(t+4)}{4t}\ge 0$$ であり、$t>0$ より等号成立は $t=1/2$ のときに限る。この値は許される $t>0$ の範囲で実際に取れるので、最短距離は $3\sqrt3/2$ であり、そのとき $a=1/\sqrt2$ である。これを $S$ の座標に代入すると $$\displaystyle X=2\cdot\frac1{\sqrt2}+\sqrt2=2\sqrt2,\qquad Y=\log\frac1{\sqrt2}-\frac12-1=-\frac12\log2-\frac32.$$ したがって求める点は $$\displaystyle \boxed{S=\left(2\sqrt2,-\frac12\log2-\frac32\right)}.$$