1山口大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$n$を正の整数とする。

(1) $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$, $0\leq\theta<2\pi$）とおく。ド・モアブルの定理から $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ である。これが $1$ に等しいためには $r^n=1$ かつ $n\theta=2m\pi$（$m$は整数）である。よって $r=1$、また $0\leq\theta<2\pi$ より $m=0,1,\ldots,n-1$ となる。したがって解は $\displaystyle z=\cos\frac{2\pi m}{n}+i\sin\frac{2\pi m}{n}$（$m=0,1,\ldots,n-1$）である。

(2) $\displaystyle \delta=\frac{2\pi}{n}$ とおくと、(1)より $c_k=\cos(k\delta)+i\sin(k\delta)$ である。またこの式で $k=n$ とすると $c_n=1=c_0$ となる。したがって $k=0,1,\ldots,n-1$ のいずれについても、複素数の絶対値の定義と三角関数の加法定理から$$\begin{aligned} |c_{k+1}-c_k|^2 &=\{\cos((k+1)\delta)-\cos(k\delta)\}^2\\ &\quad+\{\sin((k+1)\delta)-\sin(k\delta)\}^2\\ &=2-2\{\cos((k+1)\delta)\cos(k\delta)+\sin((k+1)\delta)\sin(k\delta)\}\\ &=2(1-\cos\delta). \end{aligned}$$両辺は非負であるから、$\displaystyle |c_{k+1}-c_k|=\sqrt{2\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)}$ を得る。

(3) (2)の結果を和に用いると$$\displaystyle S_n=n\sqrt{2\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)}=2n\sin\frac{\pi}{n}=2\pi\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}.$$ここで $\pi/n>0$ であり、$n\to\infty$ のとき $\pi/n\to0$ だから、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ より $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=2\pi$ である。

ド・モアブルの定理で1のn乗根を単位円上に等間隔に並べる。隣り合う根の差の絶対値を加法定理で弦長に直し、n倍した周長を標準三角関数極限へ帰着する。