2山口大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$0\leq x\leq1$ を満たす $x$ を固定して $$f_x(t)=-x^3+3xt^2-2t^3\qquad(0\le t\le1)$$ とおくと、 $$f_x'(t)=6t(x-t)$$ である。したがって $f_x(t)$ は $0\le t\le x$ で増加し、$x\le t\le1$ で減少する。最大値は $t=x$ のときの $f_x(x)=0$。最小値は端点の値の小さい方であり、 $$f_x(0)=-x^3,\qquad f_x(1)=-x^3+3x-2.$$ 両者の差は $3x-2$ だから、下端は $$\displaystyle y=\begin{cases}-x^3+3x-2,&0\le x\le\frac23,\\-x^3,&\frac23\le x\le1.\end{cases}$$ 上端は全域で $y=0$。よって領域は $0\le x\le1$ においてこの上端と下端にはさまれた部分であり、図は $\texttt{diagrams/MM-d381c2f82818-Q2.svg}$ の通り。 $$\displaystyle S=\int_0^{2/3}(x^3-3x+2)\,dx+\int_{2/3}^1x^3\,dx =\frac{58}{81}+\frac{65}{324}=\frac{11}{12}.$$

xを固定すると、tに関する三次関数の導関数は6t(x−t)。区間内でt=xが最大点となり、そこで値は0。最小値は端点t=0,1の小さい方であり、二つの値の差が3x−2なので、切替点はx=2/3。したがって領域の上端はy=0、下端は0≦x≦2/3で−x³+3x−2、2/3≦x≦1で−x³。二部分の面積を積分すると11/12。