3山口大学 2018年 数学 第3問解答・解説

・ 区間を $$\displaystyle \frac{k-1}{n}\le x\le\frac{k}{n}\qquad(k=1,\ldots,n)$$ と分ける。$f$は増加するから、$\displaystyle \frac{k-1}{n}\le x\le\frac{k}{n}$に対して $$\displaystyle f\left(\frac{k-1}{n}\right)\leq f(x)\leq f\left(\frac{k}{n}\right)$$ である。これをこの範囲で積分すると $$\displaystyle \frac{1}{n}f\left(\frac{k-1}{n}\right) \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)\,dx \leq \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$ を得る。$k=1,\ldots,n$について辺々を加え、定積分の区間加法性を用いれば $$\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}f\left(\frac{k-1}{n}\right) \leq \int_0^1f(x)\,dx \leq \frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$ となる。

・ $\displaystyle a=\frac pq$（$p,q$は正の整数）とおく。$x\geq0$では$x^a=(\sqrt[q]{x})^p$であり、正の整数乗と正の$q$乗根はいずれも増加するので、$x^a$は増加する。また、置換$x=t^q$により $$\displaystyle \int_0^1x^a\,dx =q\int_0^1t^{p+q-1}\,dt =\frac{q}{p+q} =\frac{1}{a+1}.$$ (1)を$f(x)=x^a$に適用すると $$\displaystyle \frac{1}{a+1} =\int_0^1x^a\,dx \leq \frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^a =\frac{1}{n^{a+1}}\sum\limits _{k=1}^{n}k^a.$$ 両辺に$(a+1)n^{a+1}$を掛けて $$\displaystyle n^{a+1}\leq(a+1)\sum\limits _{k=1}^{n}k^a$$ を得る。

一方、$k\le x\le k+1$では$x^a\geq k^a$であるから、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^a \leq\sum\limits _{k=1}^{n}\int_k^{k+1}x^a\,dx =\int_1^{n+1}x^a\,dx.$$ 同じく置換$x=t^q$を用いて $$\displaystyle \int_1^{n+1}x^a\,dx =\frac{(n+1)^{a+1}-1}{a+1}.$$ したがって $$\displaystyle (a+1)\sum\limits _{k=1}^{n}k^a \leq(n+1)^{a+1}-1 <(n+1)^{a+1},$$ ゆえに求める上側の不等式も成り立つ。